9e rencontre "Les mathématiques en action"

Davide Crippa (Université Paris 7-Diderot) et Pietro Milici (Université de Bretagne Occidentale)

Toucher la transcendance: théorie et pratiques des construction géométriques chez le jeune Leibniz (1673-1676)

Résumé :

Pendant la seconde moitié du XVII siècle, après l’essor de La Géométrie de Descartes, la conception et, parfois, la réalisation concrète de machines pour tracer des courbes joua un rôle fondationnel pour les courbes transcendantes ou “mécaniques”, situées au delà des limites de la géométrie cartésienne. En effet, tout en ayant proposé une méthode générale pour introduire des courbes à l’aide de machines idéales, Descartes délimite analytiquement la classe de ces constructions aux problèmes résolubles par l’algèbre. L’un des grands buts visés par le programme Leibnizien en géométrie est en effet celui d’élargir la catégorie des courbes géométriquement admissibles aux courbes transcendantes. Leibniz accusa Descartes d’avoir, sans aucune véritable raison, relégué au rang de la science mécanique et du domaine de l’approximation des courbes non seulement aisément concevables dans l’imagination et réalisables concrètement, mais aussi extrêmement importantes pour résoudre des problèmes. Si, d’une part, Leibniz accepta le canon cartésien d’après lequel les machines idéales pour tracer des courbes doivent pouvoir fonctionner “uno tractu” (en termes modernes: posséder un degré de liberté), de l’autre il refusa les limites imposées par Descartes qui consistaient à accepter comme exactes seules les courbes exprimables par des équations finies. En particulier, dans cette intervention nous approfondirons le rôle des fils dans les constructions des courbes transcendantes, que Leibniz étudia pendant son séjour à Paris, entre 1673 et 1676. Cet épisode historique nous servira comme point de départ pour des considérations plus générales pour caractériser la notion d’exactitude en géométrie chez Descartes, et étudier la manière dont Leibniz se retourna vers l’usage du fil comme outil essentiel pour achever des constructions exactes des courbes transcendantes en résolvant le problème inverse de tangentes. Finalement, en partant des cas d’études historiques présentés ici, nous explorerons aussi la relation entre exactitude et computabilité (symbolique et analogique).