Aperçus philosophiques en logique et en mathématiques : Histoire et actualité des théories sémantiques et syntaxiques alternatives

Vers la fin du 20e siècle surgit la question suivante : la possibilité d’une traduction dans le langage de la théorie des ensembles et en logique est-elle véritablement la forme exclusive de justification et de rigueur en mathématiques ? Depuis Poincaré, il y a toujours eu des réfractaires aux approches standard des fondements des mathématiques. Poincaré défendait la thèse selon laquelle, formulée en termes modernes, les variétés de théories logiques formelles – qu’il concevait comme fortement reliées aux opérations ensemblistes – n’expriment pas la structure essentielle à une authentique compréhension des mathématiques. Une alternative possible serait que les mathématiques n’aient pas besoin de fondements, ce dont témoignerait le fait que l’existence de propositions formellement indécidables (dans un système arithmétique donné) ou les problèmes non résolus par les axiomes standard (en théorie des ensembles) n’ont pas empêché le développement d’une science viable et, en fait, puissante. En conséquence, c’est l’idée même de fondements des mathématiques qui pourrait être suspecte. Les mathématiques pourraient et devraient alors être comprises à partir de leur seule pratique.

Cependant, nous aimerions formaliser la vérité, car la théorie classique des modèles repose sur des définitions de la vérité. Tant que ces définitions ne peuvent être formulées que dans un langage du second ordre ou avec la théorie des ensembles, la théorie des modèles dépendra de la logique du second ordre ou de la théorie des ensembles. Mais les théoriciens des catégories défendent l’idée qu’il y a des opérations pour les fondements différentes des opérations ensemblistes. Est-ce là la solution ?

En outre, les dernières années ont révélé un intérêt grandissant pour l’étude des sémantiques basées sur les jeux, comme la GTS, la logique dialogique, ou la logique IF de Hintikka. Dernièrement, ces approches fondées sur les jeux ont été formulées à l’aide de la théorie mathématique des jeux (van Benthem) et de la théorie des catégories (Hyland). On a en outre découvert qu’elles avaient une portée effective pour l’étude formelle de la logique linéaire, ou encore des logiques paraconsistantes et non-monotones. Il semble que ces développements permettent de renouveler la conception traditionnelle des relations entre syntaxe, sémantique et pragmatique, mais aussi la querelle standard entre mathématiques constructives et classiques, et jusqu’au rôle de la logique dans les fondements des mathématiques.

Enfin, aborder la question des fondements des mathématiques sous-entend la plupart du temps qu’il s’agit de fonder les mathématiques pratiquées par les mathématiciens professionnels du 20e siècle. Or, les travaux des historiens, des anthropologues, des sociologues des sciences montrent que l’activité mathématique humaine est beaucoup plus variée et diverse. Si l’on admet qu’au moins en partie, “ fonder les mathématiques ” est relatif à la pratique mathématique elle-même, il devient donc nécessaire d’interroger les mathématiques (et les mathématiciens) d’autres cultures, d’autres époques sur leur conception et leurs pratiques des fondements.

Le symposium sera divisé en trois sections, chaque sujet pouvant être traité d’un point de vue philosophique, historique ou même technique à condition d’en faire ressortir la portée philosophique :

Section 1
Structures mathématiques dans les fondements des mathématiques : ensembles, catégories, modèles

Section 2
Aspects logiques et cognitifs dans les fondements des mathematiques : jeux, dialogues et structures cognitives

Section 3
Perspectives historiques et culturelles sur les fondements des mathématiques.