Histoire de la géométrie moderne et contemporaine

Certains aspects de l’histoire de la géométrie au 19e et au 20e siècles ont été maintes fois étudiés. A l’occasion de ce colloque, nous nous proposons à la fois de reprendre plusieurs de ces thèmes « classiques » en les interrogeant à partir de problématiques nouvelles et de dégager de nouvelles perspectives en historiographie de la géométrie moderne et contemporaine : Le 19e siècle a vu l’émergence de plusieurs nouvelles géométries (la géométrie différentielle, la géométrie projective, les géométries non-euclidiennes, les géométries de Riemann, l’Analysis Situs, …). L’apparition d’une multiplicité de « géométries » amène naturellement à poser la question de ce qu’est une géométrie? Ainsi fut provoquée une réflexion sur la nature, le statut et l’ordre des géométries. Cette réflexion eut des conséquences énormes pour les fondements des mathématiques en général. En particulier, les tentatives pour trouver un ordre dans le chaos de ces géométries a amené la découverte d’une systématique fondée sur l’idée de groupe des transformations (Möbius, programme dit d’Erlangen, travaux de Lie, Killing, Poincaré, …). En même temps que la géométrie se diversifie, plusieurs “styles” nationaux se développent. En France, au début du 19e siècle se déroule un débat sur la question de la méthode analytique versus la méthode synthétique ; en Allemagne les discussions les plus vives concernent la question des géométries non-Euclidiennes (souvent dans un contexte épistémologique) ce débat est repris seulement dans la seconde moitié du 19e siècle en France ; par contre, en Italie, s’est développé une tradition de géométrie algébrique d’une manière très caractéristique. Durant le 19e siècle, des applications nouvelles de la géométrie s’imposent : la géométrie descriptive, les méthodes graphiques dans la statique, etc., et occasionnent de nombreux débats notamment dans le cadre scolaire et universitaire. Vers la fin du 19e siècle, on trouve une activité énorme en Allemagne et en Italie afin d’améliorer l’axiomatique des géométries. Après les travaux de Pasch et de plusieurs chercheurs italiens comme Pieri et Peano, David Hilbert propose sa fameuse solution dans ses “Fondements de la géométrie” (1899) ; le point de vue développé par Hilbert a suscité de nombreuses recherches sur l’axiomatique (en particulier en Allemagne travaux de Dehn, Hessenberg, Bachmann). Dans le deuxième moitie du 19e siècle, les géomètres commencent à accepter peu à peu l’idée d’espaces ayant plus de trois dimensions une idée qui a trouvé une application tout à fait inattendue dans la théorie de la relativité restreinte dans sa formulation par Minkowski. Les géométries nouvelles ont influencé l’art moderne dans manière importante. Durant ce colloque, nous nous proposons de décliner certains de ces thèmes : l’enseignement de la géométrie, la géométrie en Italie et en Allemagne, la géométrie des nombres, histoire de la perspective, la réception en France, Allemagne et Angleterre des géométries non-euclidiennes (perspectives savantes et profanes), la géométrie et les nombres (la question de la continuité, la théorie des « würfe »), les groupes de transformations, la cristallographie, la géométrie à Göttingen, l’émergence du formalisme vectoriel. En particulier, nous nous intéresserons particulièrement aux arguments utilisés par les mathématiciens pour justifier les nouvelles méthodes et les nouveaux points de vue ; nous étudierons aussi comment (et dans quelle mesure) ces justifications modèlent les diverses géométries. Ce colloque s’inscrit dans le cadre du projet PICS « Systèmes de la connaissance et pratiques scientifiques en Allemagne, France et Italie à partir de 1850 » entre les équipes LPHS Archives Poincaré (UMR 7117) et CEPERC (UMR 6059).