Les archives d’Élie Cartan

Les apports des contributions d’Élie Cartan sont fondamentaux, entre autres pour la géométrie différentielle, pour la classification des groupes de Lie et des espaces symétriques et pour les mathématiques de la relativité générale. Il a été en contact épistolaire avec de nombreux mathématiciens. C’est un acteur incontournable pour l’histoire des mathématiques du 20^e siècle qui devient un domaine de plus en plus actif dans le champ de l’histoire des mathématiques. É. Cartan a par ailleurs été en poste à la faculté des sciences de Nancy entre 1903 et 1909, une période pendant laquelle il propose une première classification des espaces symétriques et élabore un certain nombre de techniques qu’il réinvestira plus tard à l’occasion de ses recherches sur les espaces à connexion.

Le fonds  d’archives d’Élie Cartan (disponible depuis 2013) est composé d’une série de cahiers dans lesquels tout au long de sa carrière, É. Cartan a noté des calculs, des brouillons de rédaction d’articles et de cours, ainsi que des remarques concernant les thèses qu’il dirigeait, de plusieurs boites d’une impressionnante correspondance et d’une seconde série de cahiers contenant des notes de cours pendant ses études.

On peut ainsi suivre quasiment au jour le jour pour certaines périodes l’activité mathématique d’Élie Cartan. En particulier, on peut voir comment il met en place sa technique de classification des groupes continus et des systèmes de Pfaff en suivant les calculs systématiques effectués dans les cahiers des années 1905-1907. Dans les années 1920, Cartan met en place sa théorie des espaces généralisés dans le contexte des recherches autour de la théorie d’Einstein. De nombreuses pages des cahiers de cette époque utilisent la connaissance profonde des systèmes de Pfaff pour multiplier de nouveaux exemples d’espace à connexion. De manière générale, les cahiers laissés par E. Cartan font apparaître le rôle essentiel de sa pratique du calcul d’exemples.

Une première approche (fin 2013-courant 2014) de ces documents permet d'affirmer qu'il s'agit d'un fond majeur pour l'histoire de la géométrie au 20^e siècle. Certains cahiers permettent de suivre comment Cartan a construit exemple après exemple les éléments de sa classification des espaces symétriques. De même, d’autres cahiers permettent de mieux comprendre les intentions et la démarche de Cartan dans ses travaux sur les variétés à connexion. D'autre part, ce fond réunit entre autre des carnets de recherche dans lesquels Cartan développe de nombreux exemples et teste des énonces de théorèmes. Ce fond permet d'envisager de reconstruire le processus de découverte de certaines théories de Cartan ainsi que son activité de chercheur et d’encadrement de thèse.

Un groupe de travail constitué de plusieurs chercheurs européens (Jim Ritter (Institut mathématique de Jussieu – Université Pierre et Marie Curie), Philippe Nabonnand (Archives Poincaré – Université de Lorraine), Christophe Eckès (Archives Poincaré – Université de Lorraine), Erhard Scholz (Université de Wuppertal), Ralf Krömer (Université d Wuppertal), Alberto Cogliatti (Université de Milan), Renaud Chorlay (Sphere –Université Denis Diderot), EmmyLou Haffner (Archives Poincaré – Université de Lorraine) s’est constitué autour d’un projet d’étude de ce fonds d’archives. L’objectif est dans un premier temps de produire un inventaire commenté des contenus des cahiers et de produire une base de données permettant de reconstituer les réseaux des exemples et des techniques que Cartan élaborent. L’intention est de faire apparaître des diachronies et des synchronies et d’ouvrir ainsi un nouveau champ de questionnement autour de l’œuvre de Cartan à partir de ce fonds exceptionnel de sources. Cette tâche a été effectuée cette année par EmmyLou Haffner, la post-doc recrutée l’année dernière (sur un financement Université de Lorraine – Région Lorraine).

Dans cette direction, la suite sera d’explorer des pistes de publication électronique de ce fonds (stratégie d’élaboration de liens, définition de métadonnées, …) et de mise en valeur entre autres des cahiers.

Dans un second temps, l’idée est d’avancer dans deux directions de recherche : la première, transversale au Nachlass, sera de montrer comment l’étude de celui-ci renouvelle la connaissance des travaux de Cartan concernant la théorie de la relativité générale et la théorie unitaire des champs ; l’autre au contraire concentrée sur une période courte se focalisera sur un cahier pour reconstruire finement le travail et les modes de réflexion de Cartan à partir des notes et des calculs, des correspondances de cette époque et bien sûr des articles publiés.

La journée d’études « Autour du fonds d’Archives d’Elie Cartan » a pour but de présenter la base de données réalisée cette année par EmmyLou Haffner, d’envisager à partir de cette étude fine des cahiers dans quelles directions poursuivre l’analyse du fonds d’archives. Par ailleurs, plusieurs travaux autour de l’œuvre d’Elie Cartan et de ses contextes  seront exposés (Intervenants : Ehrard Scholz (Université de Wuppertal), Christophe Eckès (Université de Lorraine-Archives Poincaré), Alberto Cogliatti (Université de Milan), Jim Ritter (Institut mathématique de Jussieu), Ralf Krömer (Université de Wuppertal), Renaud Chorlay (Université Paris Diderot-Sphere), Fariba Elieef (Université de Lorraine-Archives Poincaré), Philippe Nabonnand (Université de Lorraine-Archives Poincaré)).

Cette journée d’études s’intégre par ailleurs dans l’activité du groupe de travail « Connexion et théorie de jauge » constitué au sein de l’Université de Lorraine (réunissant des physiciens, des mathématiciens et des historiens des mathématiques) dont l’objectif est de travailler sur une histoire parallèle en physique et mathématiques des théories de jauge.

Le projet d'analyse des archives d'Elie Cartan a fait l'objet de deux articles sur le site Eureka Lorraine :

• une interview d'Emmylou Haffner
• une interview de Philippe Nabonnand